Sobre matematica y geometrias en perspectiva

En el siguiente texto se desarrollaran una serie de posturas que se proponen dar cuenta de una ciertas relaciones lógicas y la naturaleza de la construcción de las mismas con respecto a la geometría y las matemáticas; con el objetivo de desarrollar un punto de vista, que ubique de alguna manera y clasifique los cambios en las disciplinas científicas, como discontinuo o con alguna clase de reafirmación, es decir, negación no total; se tendrán que definir algunos puntos constantes en el análisis de las mismas, estos serán por ejemplo, incluir una dimensión histórica a las doctrinas mismas, una consideración de algunos fenómenos relativos a la elaboración y complejización de las disciplinas a lo largo del tiempo, algunas de los puntos en que se ubican elaboraciones explicativas sobre problemas de la realidad física o de problemas formales de algunas de las disciplinas; esto no es otorgarles un cambio influido por la socio historia
(socio causalidad), tampoco elaborar una especie de historiografía, sino solamente incluir dentro de su comprensión, el calificativo de histórico para denotar la capacidad de desarrollo que tienen las investigaciones, hallazgos y lógicas dentro de estos campos, y que además es en el tiempo en el cual estas van formalizándose, sea axiomatizándose mas exactamente o negando una serie de axiomas para ser suplantados (como en el caso de newton-Einstein o las geometrías); es decir, la dimensión histórica se introduce como un indicador de que las doctrinas matemática y geométrica no están dadas de una vez y para siempre, sino que han sido sometidas una y otra vez a diferentes consideraciones sobre su capacidad explicativa y que de estos análisis exhaustivos, es de donde se generan las unificaciones explicativas, las separaciones disciplinarias o las discontinuidades; sin embargo este trabajo será un esbozo explicativo sobre porque se pueden mantener disciplinas separadas aun cuando parte de sus postulados han sido negados por una posterior, pero corregidos, rectificados para reafirmar un campo de objetualidad especifico y limitado.

Uno de los intentos es también, con ayuda de otras literaturas, encontrar un punto de causalidad donde se pueda entender dónde radica un peso crítico en el momento de una adecuación de un paradigma, la elaboración de nuevos paradigmas o ya sea la negación de los mismos. Con lo que pretendemos involucrar a la historia en este embrollo sobre las ciencias, para definir la necesidad de ella para las explicaciones y posteriores desarrollos prácticos o de lo contrario su departamentalización y apropiación de un campo objetual especifico.

Posteriormente nos ocuparemos de sustraer de lo desarrollado sobre las matemáticas y sus referencias con la geométrica, las nociones sobre las que se ocupan cada una, entendiendo que sus tareas de explicación distan en la modernidad más o menos a partir del S XIX más claramente, pero ya desde el s. XVII, se va viendo esta disociación entre matemáticas y geometría; se pretenderá entonces sustraer el concepto de objetualidad, objeto de estudio de cada cual, por lo que veremos la caracterización de estas y su separabilidad posterior, junto con las consecuencias de esa separabilidad por la constitución objetual.

La lógica historizada

En la perspectiva histórica, recabaremos los puntos sobre los que escribe Koyre, su manera específica de entender los cambios en las perspectivas científicas; más que como una postura única, parece importante para la elaboración de una comprensión histórica de las ciencias en su movimiento, la separación entre los contenidos internos de las ciencias y su modificación, mientras que lo que es exterior a las dinámicas científicas se establecerá como exterior, acá tenido como estrictamente científica, toda disciplina que pretenda gradualmente la formalización de su tarea, la logicizacion de la misma, o la objetivizacion de las consideraciones propias de cada disciplina. En la introducción al libro –Pensar la ciencia- de Koyre, Carlos Solís, establece los factores internos como  “aquellos que pueden constituir buenas razones para las decisiones tomadas por los profesionales de un campo científico determinado en aras del desarrollo del conocimiento, mientras que son externos todos aquellos factores que afectan a la marcha de la ciencia por otros caminos” (Koyre.1994. p, 30.). Con esto Carlos pretende decir que las revoluciones científicas son producto de consideraciones meramente científicas, de comprobabilidad suficiente, de formalidad de un enfoque teórico o axiomático, mientras se baste a sí mismo con todas sus consideraciones pertinentes, es sujeto de ser usado; se entendería que acá lo considerado es lo estrictamente científico, lo que posee un carácter de medibilidad, comprobación, un lenguaje científico como unificante, capaz de ser entendido y ser aplicado sistemáticamente a una serie de problemas, experimentos, fenómenos, hechos, siendo todas estas consideraciones de carácter racional que definirían los cambios epistémicos y formales, sin embargo, se haría la salvedad de que no  se vería como única determinante para su difusión, sino solo en cuanto estas consideraciones racionales encuentran un caudal que reciba el cuerpo científico, justificado racionalmente y posibilitado socialmente; otro caso sería si se diera la situación de la existencia de una limitación cognitiva en una época, por lo que un cambio de perspectiva de la ciencia no podría darse, ni tampoco la modificación de muchas otras disciplinas como efecto de una nueva comprensión racional, por más demanda que haya en el medio social, la limitación del conocimiento parece ser totalmente vinculante. Para efectos de este ensayo, no se tomara esta perspectiva interna de la ciencia, como único motor en el camino de su creciente formalización, sino que la división interno-externo, como se viene estableciendo será de gran ayuda para entender la capacidad de desarrollo y difusión de las ciencias con sus consideraciones internas.

En Koyre podemos encontrar rasgos de análisis como los que nos señala Solís; como primera característica encontramos que para él, los científicos del s XVII no solo se debía a una corrección de la imagen y explicación del mundo, sino que “Tenían que destruir un mundo y sustituirlo por otro. Tenían que remodelar y reformar sus conceptos, tenían que desarrollar una nueva manera de ver el Ser, un nuevo concepto del conocimiento, un nuevo concepto de ciencia.» La segunda característica de su historiografía es la ya mencionada discontinuidad de los sistemas de pensamiento.” (Koyre.1994. p, 26.); este segmento nos lleva a pensar que una revolución científica lleva a negar una serie de postulados, para dar paso a otros y sus resultados como cambio de perspectiva en conexión con la vida común, más sin embargo veremos luego, casos de no negación total en la geometría. ¿Cómo podríamos llamar al mantenimiento de perspectivas diferidas y su coexistencia por las cualidades del objeto al que se deben?, deberíamos considerar no solamente una discontinuidad, sino una corrección axiomática también y posterior partición de las ciencias como constitutivas de fenómenos con propiedades disimiles; como así mismo acota Koyre sobre que el análisis de la revolución científica, matemática y filosófica propia del empuje del siglo XVII, que nos dice sobre la estructura de esa revolución, pero poco dice de la actualidad de las estructuraciones futuras; es decir, podríamos decir que el problema es grave, pues esta estructura requiere de una revisión periódica, una característica propia de un momento particular en las ciencias, que podría diferir a la ya entendida discontinuidad.

El papel que Koyre otorga a las consideraciones filosófica, matemáticas y científicas, forman parte de una disposición que él llama –interna-, de las revoluciones y de la historia científica, es pues el núcleo duro que sostiene los cambios progresivos en los esquemas de concepción de mundo; en oposición a otras corrientes que tienden a otorgar el peso motriz al contexto de relaciones que él va a llamar -exteriores- como lo es la teología, las cuestiones del funcionamiento económico (no así necesariamente con las concepciones y disposiciones sobre la economía), la moral, la ética y demás elementos que ahora podrían llamarse estrictamente sociológicos.

Otra de las facetas introducidas para desarrollar una ubicación lógica, es la postura de Rudolf Carnap, según la cual la logicidad de una serie de proposiciones y su formalidad, radica en la capacidad de que un significado sea sostenido y lo suficientemente preciso para la tarea que se propone, su fundamento definitorio además descansa a la misma vez sobre otras disciplinas investigativas, sobre otras ciencias que han ya definido sus atributos como concepto o ente. En este ejercicio de establecimiento de un significado con arraigo lógico, se encuentra la clave para entender a la vez de manera recursiva, el programa lógico que definió y sigue definiendo el endurecimiento de las perspectivas y su constitución como paradigmas explicativos, esa característica presente en la historia de las revoluciones científicas; ejercicio que implica algunas veces la negación de otros paradigmas anteriores, involucran una ruptura epistemológica y como resultado final, con toda una concepción de mundo extra científica, en la moral, la ética de una época, sin embargo no podríamos decir que el establecimiento de una serie de postulados científicos, considerando la lógica filosófica como su fundamento, lleve inmediatamente a una negación total, es decir, sobre las proposiciones ambivalentes podríamos decir que representan una definición y sistematicidad importante y que solo negarían (según Carnap), la serie de proposiciones que no tengan sentido, abriendo la posibilidad en una moderna ciencia, de dobles sentidos, de diferentes marcos lingüísticos (e irremediablemente logicos) que contengan enunciados similares pero con consecuencias lógicas diferidas y definidas por su pertenencia a uno u otro. Asi es como Carnap afirma: “llamaremos a este procedimiento la construcción de un marco (framework) lingüístico para las nuevas entidades en cuestión. Ahora, debemos distinguir dos clases de preguntas de existencia: primero, preguntas acerca de la existencia de ciertas entidades del nuevo tipo dentro del marco; las llamaremos preguntas internas; y segundo, preguntas que conciernen a la existencia o realidad del sistema de entidades como un todo, llamadas preguntas externas. Las preguntas internas y las posibles respuestas a ellas son formuladas con ayuda de nuevas formas de expresiones. Las respuestas podrían ser encontradas ya sea por métodos puramente lógicos o por métodos empíricos, dependiendo de si el marco es uno lógico o factual. Una pregunta externa es de un carácter problemático que necesita de un examen más detallado.”(Carnap. 1950. P, 21). Es de interés remarcar la palabra –Framework- ya que su significado refiere a una codificación, en este caso de los enunciados filosóficos; es decir a su sistematización y reducción lógica del significado, a la hora de enfrentarse a  procedimientos cuando es necesario resolver problemas dentro de una lógica de cosas.

Para Carnap, el análisis lógico del lenguaje (filosófico o formalista cientifico) propone la tarea de la sistematización de una serie de proposiciones a partir de su precisa definición por, protocolos, o retrotraimientos, mientras se establece un marco lógico de lenguaje al que pertenezcan una serie de proposiciones antes no contempladas; la pretensión de formalización de posibles nociones metafísicas encuentra motivación en su precisa definición, no en su negación definitiva como primer recurso. El análisis del lenguaje radica en su reductibilidad a proposiciones esenciales que enmarquen una palabra dentro de un todo lógico que no pertenece siempre al dominio de la filosofía analitica, pero así se encuentra el significado establecido (fijado), en la biología, en la geometría, matemática, si se retrotrae a definiciones básicas anteriores, o si encuentra proposiciones protocolares en los estudios empíricos, en las construcciones conceptuales o de observación de la objetualidad señalada por la proposicion (en general, marcos de significación con una lógica formalizada y proposiciones protocolares respectivamente); de ahí que se procede luego a continuar con el enunciado limpio ya de otras definiciones especulativas. La aceptación de una serie de postulados radica en la pertinencia hacia un campo de estudio y su pregunta sobre la pertinencia debe enmarcarse dentro de una lógica más formal pues si no se encuentra más formalidad (matemáticas), se convierte en una pseudopregunta especulativa (pregunta externa como nombra Carnap); diciendo con esto que si no encuentra un marco lógico de significación, es incomunicable, indefinible o ambivalente, sin sentido, por lo que no puede constituirse una respuesta lógica para tal pregunta. Se podría preguntar por resultados de relaciones entre magnitudes, dentro de una lógica propia de la matemática, representada por los signos propios de las matemáticas (números y signos de operación), pero sobre ese conjunto de expresiones y la duda sobre la existencia de esos signos o de su pertinencia para representar las operaciones realizadas lógicamente, no se podría responder desde la lógica interna, sino desde una extra lógica, la filosofía de las matemáticas o nociones de utilidad ya meramente no concernientes a la lógica de las matemáticas, sino consideraciones más delicadas.

Lo protocolar segun nos refiere Ayer en su compendio, en los textos de Neurath, de Carnap (comprendido y explicado de maneras diferentes), son el contenido observacional de acuerdo a parametros que explicitan el punto de referencia de la observacion y la fisicalidad de lo observado de acuerdo a un contenido de coordenadas espacio-temporales de las que da cuenta; es decir si yo digo protocolo de Xpersona a las 20:11, esto nos arrojara a la clase de percepciones auditivas, visuales, espaciales, como por ejemplo < X ve una mesa a su una mesa> <X se observa en una habitacion oscura>, daar cuenta del pundo de referencia y de la manera en la que se puede ubicar este en el espacio (X esta a la derecha de la mesa en la habitacion oscura) y ademas de los mecanismos de ubicacion (ver, observar, sentir). Lo protocolar es una forma de peticion de lo que el metodo de sinonimia emprende como manera de encontrar significados, pero estas proposiciones protocolares dicen sobre el caracter factual de un punto de referencia en cuento a coordenadas espacio-temporales y explicitan la manera en que el significado se conecta con lo factual.

La matemática y la geometría en perspectiva

Koyre citando la postura diferenciada de Kant con respecto a newton y su geometrización del espacio, señala: “no son las condiciones del saber las que determinan las condiciones del ser fenoménico de los objetos de esta ciencia -o de los entes- sino, al contrario, la estructura objetiva del ser lo que determina el papel y el valor de nuestras facultades de saber.” (Koyre.1994. p, 61.) El abordaje kantiano expuesto va a proponer la separación entre las consideraciones del saber y las características propias de los objetos de ciencia que tratamos de aprehender, es pues la pertinencia de la formalidad lógica, de la conformación de objetualidad desde las disciplinas científicas, pues va a dirigirnos hacia una determinada cualidad de objetos aprehendidos, que serán abordados desde un marco epistémico determinado y pertinente para la serie de fenómenos estudiados, se asegura la independencia del -ser fenoménico de los objetos de la ciencia-; sin embargo en Koyre, este -ser fenoménico kantiano- se asemeja a lo que se ha abordado como objetualidad de la ciencia, es decir una aprehensión a medio camino del objeto material en su captación fenoménica, se puede decir que en Koire, es dependiente de las consideraciones internas, la manera en que se constituye el objeto como –ser fenoménico- , también se puede reasegurar la historicidad de las disciplinas aplicadas, (no siempre de las lógicas, pues estas pueden ser discontinuadas) y de las elaboraciones objetuales (si no son totalmente negadas, es decir no están dadas, cerradas para siempre, sino abiertas a nuevas resoluciones formales de problemas existentes, su negación o rectificación), en este caso se afirma la especificidad de la lógicas y consideraciones epistemológicas por unidad de tiempo, es decir su suplantación, corrección o reaxiomatizacion, no así la historicidad del objeto como perteneciente al mundo natural  como dado (aunque este cambie, se entiende que son cambios que siempre han ocurrido, pero son posteriormente incorporados), elemento ultimo del que no se pretende explanar opinión, o consideración estricta, por parecer concerniente a otro campo.

Sobre la historiografía de la matemática, ponemos en perspectiva sus descubrimientos y posibilidades explicativas en relación con su progresiva  independencia de lo observable empíricamente, de su formalización contigua, axiomatización y ascenso lógico. La presunta apertura de la lógica, su carácter no dado de una vez por todas convertiría a la matemática en un elemento lógico, que no se elevaría, a pesar de su formalidad, sobre las condiciones pertinentes a sus caracteres filosóficos, a su estudio meta-matemático, para eso podríamos decir que su formalidad esta siempre a prueba en la labor filosófica ; la labor filosófica en este caso, según Carnap tal vez consideraría, consistiría en el esclarecimiento de los fenómenos englobados en ella, en el análisis lógico del lenguaje proposicional como propósito definitorio de un esquema lógico propio y, en última instancia, la introducción de una serie de fenómenos dentro de una forma lógica. Entonces podríamos entrever que el supuesto de la discontinuidad epistemológica es aplicable a las ciencias factuales, no así a las lógicas, pues la matemática ha sido axiomatizada y re axiomatizada continuamente, incluyendo nuevos conjuntos más complejos, pero no negando totalmente la anterioridad.

Anteriormente, se menciona una periodización concerniente a la historia de las ciencias y sus revoluciones, acertadamente las coincidencias con algunas propuestas Koyreanas, son muestras de la pertinencia de mencionar al S XVII como un periodo revolucionario en el área de las ciencias, puesto que existía una amplia disposición científica relativa a “desarrollar métodos matemáticos y científicos apropiados para poder integrar una gran colección de resultados en la física y en la astronomía que se habían estado generando” (Ruiz. 1999.  p. 24), es pues un avance en las explicaciones matemáticas de las geometrías utilizadas para la simplificación astronómica de las mecánicas planetarias newtonianas, pero que después va a seguir un avance matemático que se separa de la geometría clásica por inadecuación de esta a los avances de la forma matemática. Se van a comprender ciertos avances en la capacidad explicativa matemática, en detrimento de la formalidad geométrica, pues en su vertiente clásica se van a presentar limitaciones métricas, de la manera de construir figuras y la forma de generar explicaciones de estas en cuanto a adecuación a lo existente; sin embargo, las limitaciones se dan sin contemplación de algunos avances, ya que esos no representaban todavía una formalidad lógica unificada, sino solamente “excepciones importantes y significativas” (Ruiz. 1999.  p. 25), de ahí la perspectiva de limitación explicativa.

La filosofía metódica, parecía proponer y dirigir lo que procedía de manera científica, se elevó a si misma como producto formal del pensamiento, mientras que disponía sobre otras disciplinas sus consideraciones: “la ciencia se rebeló contra la tiranía de esta pretendida Regina scientiarum, y que su progreso coincidió justamente con su liberación progresiva y su establecimiento sobre la base firme de la experiencia” (Koyre.1994. p, 48.); la interpretación expuesta, no solo significa que la filosofía adquiría formalidad conjuntamente con las matemáticas, y su relación era altamente cercana a la ciencia si no que, la ciencia tuvo que liberarse haciendo revisión de sus postulados, ajustándose a la experiencia objetual y formalizándola. Esas -excepciones- explicativas se irían convirtiendo en nuevas consideraciones o consolidando nuevos marcos de comprensión que no negarían el anterior por un aparente principio de no conciliación objetual, derivado de una objetualidad relativamente abstracta pero suficiente para abordar problemas físicos específicos, “De hecho no son los cuerpos de nuestra experiencia común, sino los cuerpos abstractos” (Koyre.1994. p, 64.).

-Geometrias axiomáticas y reformulación del 5to postulado.

La tension entre la genetica y a axiomatica, se asemeja a la tension entre la teorizacion o la metateorizacion y el proceso de descubrimiento menudo, es decir equivalen los dos, a concepciones de la manera en que se desarrollan las entidades formales de la matematica, posteriormente cualquier otra entidad que pretenda tal formalidad; por un lado la axiomatizacion de un conjunto de proposiciones supone un cierto conocimiento de los mismos, ademas de una cierta cualidad inicial de lo cual todas los otros posibles resultados estan contenidos o son deducibles resolviendo las ecuaciones que axiomatizan un sistema, doblemente se comprueba la formalidad de los enunciados simples y la deducibilidad de ciertos enunciados u operaciones.

La genetica se basa en los descubrimientos progresivos de caracteristicas que se desprenden de una atribucion inicial, por ejemplo la discontinuidad de los numeros, de las unidades, sin embargo este concepto va a transformarse con los calculos infinitesimales, donde cada numero no es unitarios sino capaz de ser continuado infinitamente, sin embargo eso solo complejiza las operaciones posibles, pues este hecho fue reconocido apartir de por ejemplo la division de numeros enteros como principio; la diferencia de la genetica como medio para la investigacion metamatematica o lectura metahistorica de la ciencia, es que busca estos puntos de cambio conceptual en el descubrimiento del caracter infinitesimal y añade ese hecho al bagaje de operaciones. Donde la axiomatica tenderia a demostrar hechos deducibles de otras proposiciones, la genetica solo ve una linea de descubrimientos de propiedades y cambio de perspectiva.

La comprobacion del 5to postulado geometrico de Euclides, tiene que ver con que este se creyo no deducible logicamente de los anteriores y por lo tanto este ultimo postulado se convierte en inconsistente en la logica de conjuntos y de abstraccion; la solucion radico en un trabajo amplio de comprobacion apartir de triangulos y demas para construir el paralelismo de las rectas; el resultado fue ademas el descubrimiento de los planos y las superficies, diciendo que <sobre una recta pasan infinitos planos>, mas tarde el plano se convirtio en un elemento que transmite propiedades a las figuras y a sus transfromaciones permitidas por lo que nacen las geometrias no euclidianas, criticas y negadoras ademas del 5to postulado sobre el paralelismo.

Ruiz expone en su libro sobre las geometrías no euclidianas, el alcance de la geometria analítica y su relación con los postulados del cálculo matemático, en ese instante que durante el s XVIII, se avanza hacia la explicación de curvas junto con el sistema de coordenadas en el plano cartesiano, es decir, matemáticamente se pueden establecer las formas de acuerdo a los limites centrales de una plano cartesiano; Newton y Leibniz van a representar este movimiento en el cálculo y en el siglo XVIII la analítica de Euler cerrara parte de las facetas de aplicación matemática como manera de resolver problemas geométricos. “muchos asuntos de la antigüedad clásica fueron abordados y resueltos… Ya en el siglo XVIII… generaría… las series infinitas, el cálculo de variaciones, la geometría diferencial, la ecuaciones diferenciales, el análisis de funciones con variables complejas…” (Ruiz. 1999.  p. 25); En una perspectiva Carnapiana, la sistematicidad de la aprensión fenoménica, iría adquiriendo cualidades matemáticas, como también caracteres de comprobabilidad protocolaria; cuestiones que a partir del s XIX adquirirían profunda importancia en campos de la lógica filosófica, matemática y en la comprobación geométrica.

 En la geometría, se van a aplicar diferentes avances científicos, ya desde el S XVIII, la capacidad de las coordenadas, de proveer aproximaciones de magnitudes, es un avance que no solo involucra la resolución de problemas de la antigüedad desde las matemáticas, sino que iria a modificar las tradiciones propias de la geometría clásica; como sucede con las demás ciencias, en la filosofía con grandes asociaciones matemáticas se ven las capacidades de la aplicación sobre determinados problemas, incluso económicos, muchos de los cuales son provocados por los avances matemáticos y las incorrespondencias con los paradigmas precedentes, Ruiz señala que los avances teóricos coinciden con “una demanda creciente hacia el uso de las ciencias en la vida social” (Ruiz. 1999.  p. 39), lo cual en Koyres hace en la concepción histórica de -espiritualidad científica-, y que acá (el texto propio) se opone analíticamente al estado del conocimiento (talvez también en Koyres), llamándolo -posibilitación social o contextual-, dando las características de que sin una no hay avance epistemológico y sin la segunda no hay difusión a gran escala; daremos como categorías propias de este texto, y con una función explicativa, los nombres de –posibilidad lógica y posibilidad social-.

Un avance matemático que da Galois (1811-1832), da como resultado una separación lógica de las lógicas desprendidas de las objetualidades, él llega a establecer que  “un conjunto de elementos forma un grupo con una operación si: el conjunto cerrado bajo esa operación (operar dos elementos da otro del mismo conjunto), contiene un elemento neutro (W* neutro= W), para cada elemento existe un elemento inverso (W*Wˆ-1=neutro) y la operación es asociativa [x*(y*z)=(x*y)*z]” (Ruiz. 1999.  p. 49), una justificación lógica de la cerrazón interna de una agrupación lógica, cerrazón entendida en términos lógicos hasta mas no haber, con el concepto de historicidad lógica que no excluye la incorporación de nuevos fenómenos pero que tampoco niega el todo de la formalidad analizada; es por ahí por donde podríamos asimilar que dos fenómenos con axiomatizaciones disimiles no podrían constituir en una operación, un conjunto o sistema único. Si hacemos referencia a que “una geometría era el estudio de las propiedades de figuras que se mantienen invariantes cuando se aplica un grupo de transformaciones. El asunto se puede poner así: al ampliar o reducir un grupo se pasa de una geometría a otra” (Ruiz. 1999.  p. 50), lo anterior por un principio de contenido, en el que por ejemplo “la geometría euclidea plana se asocia al grupo de transformaciones dado por las traslaciones y rotaciones en el plano (los objetos son las figuras del plano invariantes bajo este grupo de transformaciones)” (Ruiz. 1999.  p. 50)

Si pensamos que los objetos siempre han existido de ese modo (los fenómenos comúnmente observados), no podríamos llamar a esto contingencia, sino solo descubrimiento posterior(postulados no euclidianos), pero no una serie de postulados a posteriori, si pensamos que toda figura está compuesta de puntos y que estos se agrupan de diferente modo pero que siempre es calculable su densidad, volumen, proporción, forma, etc., no entraríamos en discusiones de este tipo... pero si pensamos en lo anterior y la construcción de triángulos de acuerdo a esto, esos triángulos podrían adquirir formas muy diversas, una de las cuales serían las euclidianas (suma de sus ángulos =180°), pero en las geometrías no euclidianas la suma de sus ángulos serían menores o mayores a 180°... es esto una contingencia en lo no euclidiano?, o mas bien a la luz de su conjunción, solamente un resultado de razonamientos de diferentes órdenes con diferentes axiomatizaciones (axiomas euclidianos, no euclidianos) y diferentes objetualidades, el problema de la síntesis radica en que si la construcción axiomática se elaboró a posteriori, puede ser resultado de una búsqueda de determinantes de las formas, pero que se encontrarían en las formas ya, lo tardío ha de ser la comprensión de estas y no su "naturaleza" u origen; evidentemente habrá de hacerse la diferenciación con los fenómenos de observación común y las formas en cuanto a abstracciones –a medio camino- es decir, suficientes para la explicación empírica pero sometidas al análisis matemático.

Si pensamos a cada sistema geométrico como una manera de concebir figuras (objetualidad), podríamos entenderlas como axiomas separados en cuanto a sus proposiciones, objetos propios y deducciones de los casos, pero que como expresiones de las formas son insertables dentro de las matemáticas aplicadas, por lo que la unicidad en ambos, serían los entes abstractos de los números (Carnap) y las capacidades que ellos mismos proveen por su formalidad (de ahí la posible modificación axiomática dada por la aceptación de posibilidades logicas-matematicas) (siendo esto una explicación internista , posiblemente). La geometría, como se hace necesario aclarar, como elemento abstracto, ha poseído una doble concepción histórica, primero como explicación de fenómenos de la naturaleza y luego como una naturaleza lógica en sí misma, con la sustitución de sus ámbitos lógicos y objetuales propios, por su suficiencia en la explicación de los fenómenos empíricos correspondientes, es decir la referencia al mundo físico de las cosas comunes, es suplantado(s XIX) por el estudio de las formas geométricas en un estilo de ascenso formal.

Si cada uno de ellos es unido por el cálculo de su forma, densidad, magnitud, y expresable en agregados matemáticos (la aproximación geométrica analítica y el cálculo de coordenadas matemáticas de los planos cartesianos), se verían ambas sumidas a un orden mayor numérico (logica matemática que utiliza a los entes numericos), sin embargo si vemos la modificación de los axiomas euclidianos, veremos que la duda de su deducibilidad y el descubrimiento de lo no euclidiano y posterior axiomatización, lleva a la geometría euclidiana a reformular sus supuestos en consideración de la existencia de planos de diversas formas sobre las que se trazan las figuras, y que de acuerdo a tal plano las propiedades de las figuras cambian y tambien sus –transformaciones- en el sentido de Galois. La objetualidad será definida entonces de acuerdo a la relación existente entre las figuras y el plano en el que se encuentran. Entonces la aparición de lo no euclidiano, a pesar de presentarse separadamente, influye en la reformulación de lo euclidiano (planos compuestos por rectas), aunque esta reformulación no signifique una negación total de lo anterior, sino una partición de la disciplina geométrica. Ambas conservan su espacio y legitimidad bajo la formalidad de las matemáticas y de los entes abstractos numerales.

Cuando pensamos que sometemos las geometrías a un análisis sobre sus deducibilidades, pensamos talvez que hacemos una meta-geometría, pues tratamos de unificar formalmente bajo una sola lógica de magnitudes y coordenadas (carnap) a ambas, pero solamente estamos utilizando un eufemismo para la formalidad matemática analítica si no estamos entendiendo la historicidad de la formalidad y la precisión lógica de las geometrias. Si nos ubicamos en el proceso de formación de un paradigma (como en el caso de la corrección axiomática en la geometría euclidiana) o nos ubicamos en problemas de deducibilidad de acuerdo a un marco lógico; igualmente cuando pensamos que hacemos una meta-matemática, podríamos estar usando un eufemismo para la investigación filosofico-analitíca de la formalidad matemática, es decir, estamos subyugando al pensamiento dentro de un marco lógico (carnap) determinado, como lo es el de la formalidad matemática siempre que no estemos recurriendo a una extra lógica definitoria, o a un problema axiomático, de ser el ultimo caso entenderíamos que existe una imprecisión aun, que las matemáticas no pertenecen a la serie de elementos dados en el mundo. Sin embargo, para carnap, lo que no tiene sentido, es pues lo que no está claramente definido, puede ser substituido por proposiciones disimiles, su significado no puede ser encontrado como magnitud o existencia o no tiene concordancia sintáctica pues posee una confusión de significados gramaticales; donde se ubicarían una especie de proposiciones y palabras sin sentido? En la no enunciabilidad o en el futuro de cuestiones que no han sido señaladas como hechos, en la especulación (como se ha dado y como señala carnap), o en cuestiones de explicaciones emocionales de la metafísica, que remitirían a las psicologías; eso dependería de la naturaleza de las proposiciones, palabras o pseudoconceptos, dependiendo de su vaga utilización.

Vemos que las revoluciones científicas del tipo de la del s XVII, tienen la perspectiva substitutiva y de negación de un orden de cosas, como logra entrever Koyres, mas sin embargo, alrededor del siglo XIX, las características de los avances científicos, matemáticos y geométricos, resultan en particiones objetuales, ya vistas desde la etapa anteriormente mencionada, pero que es considerada desde lo interno de una comunidad científica como una partición necesaria, es decir, el ánimo unificante de tales sectores se realiza en la lógica matemática, mas no en su objetualidad, la cual no es única, ni posee únicas propiedades. Es decir, las consideración de un lenguaje interno de cada disciplina, no radica solamente en la pertinencia práctica, pues los objetos no son en todos los casos existentes en las captaciones empíricas, sino que la objetualidad se define por la identidad de los fenómenos englobados y de igual manera el lenguaje matemático unificante es reconsiderado dentro de la objetualidad, teniendo esta como el límite para su funcionamiento.

Si retomamos a Koyre, es en ambos casos el internismo y las preguntas lógicas internas referentes a fenómenos similares, considerando las preguntas sobre la demostrabilidad de un caso dentro de un marco lógico (internalidad carnapiana), mientras desde el internismo histórico, se ve el cambio de esquema lógico como una decisión a lo interno de la comunidad científica(independientemente de si es vinculante o no y de su discusión especulativa sobre la existencia y adecuabilidad de ese marco lógico) , ademas el hecho interno de la ciencia de aceptar entes abstractos dentro de una comunidad (cambio y uso de marcos lógicos a lo interno de la historia científica koireana) se convierte en una resolución practica de las preguntas externas carnapianas sobre el todo lógico al que se adscribe una comunidad; es decir, la internalidad e externalidad Carnapiana se podrian referir a decisiones internas de las comunidades científicas, refiriéndose al enmarcamiento dentro de una perspectiva histórica Koyrena. Para ambos casos de intenalidad y exterioridad (Koyre,  Carnap) cabe esclarecer que: koyre se refiere a una tesis de historia y filosofía de la ciencia, por lo que su interés radica en las consecuencias generales sobre la decisión de una comunidad de adscribirse a un todo lógico, y la proveniencia de la decisión, si es a lo interno o a lo externo de esta comunidad científica; mientras que Carnap propone un método de encuentro de las proposiciones lógicas, elementales y protocolares.

Una serie de proposiciones aproximadas:

1.       Sobre la formalidad de las matemáticas y el mundo naturalista; la formalidad ha sido expuesta a muchas consideraciones sobre el carácter de las mismas, es decir se debate entre la formalidad comprendida como el resultado de unas atribuciones primordiales, de las cuales las demás propiedades se deducen, o de una formalidad en construcción; es decir ademas de la deducibilidad de las matemáticas, se piensa que  no está dada como si lo está la estructura del mundo desde una visión naturalista, es decir, el mundo se ha formado independientemente de la existencia de nuestra capacidad de aprehenderlo, mientras que las matemáticas consisten en un sistema formal creado por la mente humana; en ese sentido el mundo se estructura bajo movimientos que han sido de la misma manera siempre (y nuestros descubrimientos sobre el son paulatinos) , un cosmos con caracteristicas que no cambian, sus transformaciones posibles han sido las mismas y el fenomeno como es aprehendido cambia de prespectiva a la vez que cambia nuestro conocimiento de el. 

Es decir, eso haría entender el porque es necesaria una filosofía de las matemáticas como un saber extra lógico (objetivación) en el sentido de que es necesario establecer como objeto de estudio a la formalidad de las matemáticas como una sistematicidad en construcción, a pesar de deducirse gran parte de unas atribuciones iniciales (aun siendo relativamente suficiente su formalidad axiomatica y genética), mientras que una vez encontradas leyes lógicas (axiomas apartir de las relaciones geneticas como descubrimiento), generales de las relaciones entre números, se ha procedido a la axiomatización de la lógica del sector de la matemática estudiada como objeto; luego de la axiomatización y del establecimiento de una lógica interna de las cosas, toda pregunta sobre ese ámbito es interna y subyugada a la lógica establecida con anterioridad (la modificacion del fenomeno es consustacial con nuestro conocimiento), a menos que hayan anomalías, para las cuales se ha de recurrir a la extra lógica.

2.       La separación entre una geometría y otra, puede leerse históricamente como un interés por mantener disciplinas con diferentes niveles de complejidad, como doctrinas separadas por una naturaleza(cualidades observables y cuantificables) del objeto (figuras en relación al plano); o podría entenderse lógicamente como un impasse lógico dentro de las matemáticas relativas a las formas geométricas objetuales, siendo que esta engloba a ambas geometrías como un marco comunicativo-lógico formal, no se ve la posibilidad de subyugar una a otra debido a las características de sus planos y a la tradición anterior (a la posibilitacion logica y la posibilitacion contextual); una nueva zona de estudio geométrico nace como un ámbito lógico diferente de la matemática aplicada a la geometría, es decir una nueva objetualidad.

3.       Lo que no cabe dentro de la lógica formal, es especulativo, emotivo o pseudo conceptual, metafísico o ético: Diferente seria decir que existen hechos para los cuales la formalidad lógico-matemática no es explicativa, pues ella solamente da cuenta de una parte de la misma, la que tiene magnitud (atributos positivos), se refiere a un marco lógico de deducibilidad positiva, observación empírica(protocolar), o de significancia (semantica); y de más está decir que esa otra parte que no es abarcable dentro de la formalidad matemática, puede también ser subjetivo-sensitiva y que aun así forma parte de una manera de pseudo conceptos. No nos ocupamos de esta serie de proposiciones ni de su ubicuidad, en el compendio de A.J. Ayer del que se extrajo uno de los textos de Carnap, se refieren a la Etica, como probable lugar de estas proposiciones, pero no será una tarea propia de este ensayo establecer esto.

4.      La tensión entre el formalismo en la filosofía, las matemáticas y esta tendencia de entender las anteriores como no dadas (tension axiomatico- genetica) o abiertas a modificaciones del tipo -inclusión de una serie de fenómenos nuevo formalizándolos- (axiomatizacion de los hallazgos geneticos), es perdurable por la resistencia mutua, de la una ante la otra, una resistencia también formal, no política ni ideológica solamente (si se diera un argumento relativo a estos elementos sociales); es decir, que la capacidad de la experiencia y de la observación del mundo de una manera naturalista o ficisista, plantea la posibilidad de problematizar conjuntos, mientras que la filosofía analítica y las matemáticas han demostrado una avanzada en la comunicabilidad y explicación de tales fenómenos. Para ambos casos las resoluciones no serían nunca definitivas y eso mantiene separadas las procedencias del conocimiento, elemento que mantiene también separadas las geometrías (euclidiana y las no euclidianas) a pesar de su posible expresión grafica  por un solo método matemático, es decir, en ambas geometrías operan ambas construcciones epistémicas referidas a un objeto representacional de la serie de problemas pertinentes a cada geometría. 

Lo que no termina de convencer es la reducción que podría pensarse sobre que el marco de comprensión depende de cómo se construya el objeto, es decir, podría llevar a un relativismo objetual, y ese no es el caso que pretende ilustrarse, sino más bien la no correspondencia de la construcción objetual es lo que determina esa ruptura de interpretación (la discontinuidad de los objetos), pero no podría asegurarse que un objeto pueda entenderse como una cosa –o- como otra, sino como una cosa -y- como otra (esto define propiedades del objeto), o como una cosa excluida de la otra (esto define unos objetos de otros). Si B esta contenido dentro de A, debe entenderse que la construcción objetual de A y B es diferente pero que la de A no es exclusiva de B, A posee una construcción objetual capaz de explicar lo sucedido en B, pero no sucede lo mismo al contrario; si A contiene a B y C su principio objetual es idéntico (el de B y C), sucede en B y C que su formación objetual es específica para una serie de sucesos, pero en A se encontrarían los principios de identidad referentes a todos los subconjuntos contenidos.

Bibliografía:

-A.Koyre. (1994). Pensar la ciencia. Ediciones Paidós Ibérica S.A. Barcelona, España.

-R. Carnap. (1932). Superación de la metafísica mediante el análisis lógico del lenguaje. En, A.J Ayer (1981). Positivismo lógico. Fondo de Cultura Económica. México, D.F.

-R. Carnap. (1950) Empirismo, Semántica y Ontología . En: Revue Internationale de Philosophie. 4 .pp. 20-40. Reimpreso en el Suplemento a Meaning and Necessity: A Study in Semantics and Modal Logic, edición ampliada (University of Chicago Press, 1956).

-A. Ruiz. (1999). Geometrías no Euclidianas: Breve historia de una gran revolución intelectual. Editorial de la universidad de Costa Rica. San José, Costa Rica.