Axiomas materiales y axiomas formales.

Axiomas materiales y axiomas formales: realismo e irrealismo

En la historia de la matemática se pueden encontrar infinidad de anécdotas que han confeccionado no solo una imagen de cómo son los científicos, los matemáticos y los filósofos desde la antigüedad, sino, como se ha construido el conocimiento por accidentes incluso, por problemas prácticos como en el caso de la corona de oro y Arquímedes. También se ha puesto en evidencia las sectas científicas que conformaban los pitagóricos con sus nociones acerca del mundo, las matemáticas e incluso filosóficas o dietéticas (acerca de la alimentación); la matemática como toda ciencia ha estado fundada por medio de cuestiones tanto terrenales como trascendentes y místicas que no pueden obviarse en la construcción de un campo de estudio como este o como la geometría que posee aún más aplicación práctica, incluso con solo definir etimológicamente su nombre, aunque no siempre se obtengan buenos resultados de la etimología solamente.

Estas cuestiones son las que pone en evidencia Cereijido (1994), hace patente el hecho de que existe un ethos del científico como persona perteneciente a una sociedad o cultura que influencia su ethos como matemático, como científico latinoamericano; el espacio en el que se desarrollan las ciencias tiene mucha importancia para análisis que discurren en la actualidad sobre qué tan “objetiva” o imperturbada es la ciencia con las cuestiones que se pueden considerar extra científicas, igualmente que tanto afectan los objetos extra científicos, de otras ciencias, de otras disciplinas y un tema aún mayor es el que propone Dou (1970), que tanto afectan los elementos extra matemáticos a la misma.
A ese respecto, no solamente se han tenido por extra matemáticas las nociones místicas (dentro de la historia o historias de las ciencias), sino los objetos del mundo real; preguntas como ¿dónde encontramos un círculo matemático, o un triángulo perfecto, o un cuadrado? han guiado precisamente estos aspectos en los desarrollos más complejos de matemáticos fundantes como David Hilbert.

David Hilbert (1862-1943)

Los axiomas de cierta manera proceden a partir de conjuntos de cosas según lo expone David Hilbert (1993) en sus escritos contenidos en Fundamentos de las matemáticas, y si bien la noción de conjuntos proviene precisamente de los conjuntos numéricos y estos poseen criterios mas sencillos, aunque se sabe que existen problemas ahí acerca de cómo definir esos criterios; algunos conjuntos que se pueden hacer están compuestos de entidades matemáticas, funciones de los símbolos, de objetos geométricos de fórmulas y demás objetos que no son solo números; El tema radica en , cómo definimos qué cuestiones del mundo real y percibido, pueden pertenecer a qué conjunto matemático o geométrico, como debatirse entre la infinidad de números, infinidad de cosas materiales con unidades finitas y la capacidad de los axiomas finitos, esto según Hilbert debe establecerse por un consenso general que inicie en la teoría de números, una cuestión que es controversial para el, pero ¿por qué?, pues resulta que es la base de la matemática lo más irreductible y atómico.

el sistema de planos y rectas en un hiperespacio, es decir 

en un espacio matemático de más de tres dimensiones. 

En un eje representaremos el espacio que es tridimensional,

 en otro situaremos el tiempo, y en un tercer eje la relación

 entre ambos que llamaremos escenario. (Imrani & Mendecki).

**representaciónes son parte de la ubicación espacio-temporal 

de la mente, una dimensión aplicable a la lógica matemática**

-La base de esta hiperespacio que incluye la representación mental

esta en el espacio de Hilbert-

Existen para Hilbert dos métodos, uno se podría considerar realista y otro antirrealista o irrealista; el primero es llamado genético por Hilbert(1993) y material por Dou(1970), pero consiste en lo mismo, es un método por el cual se observan los objetos materiales y se comienzan a considerar como entidades matemáticas, así, podemos observar un libro, dos libros, tres libros, pero no podríamos considerar medio libro, por una proxy denominamos equivalente esto a la mitad de sus páginas, o la mitad de su peso total o incluso más abstracto, la mitad de sus capítulos ( no pueden ser “mitades” iguales entre sí, como se pensaba), peor aún si consideramos sustituir personas o pensar en mitades de ellos, es algo imposible, así con muchas otras adecuaciones posibles, los axiomas deberían contemplar estas diferencias generales. Este problema hace efectivamente pensar en esta geometría como poseedora de “contenido y sentido” (Dou, 1970, p 77) al igual que la griega y podría ser efectivamente el proceder de las ciencias naturales, por medio de proxys[1], y adecuaciones de elementos, pero para Hilbert como lo dice Dou (1970)“todo método de consistencia relativa está condenada al fracaso para la teoría de números y la teoría de conjuntos” (p. 77); un gran problema si pensamos que la ciencia se asienta bajo este método de axiomas genéticos (Hilbert, 1994, p. 23), de descubrimiento paulatino, sucesivo y asumiendo bases evidentes sobre las que se elaboran sus axiomas generales.

Tal como lo menciona Gascueña (2020), en las ciencias como la biología, las matemáticas no son solo 

aplicadas  o derivadas de otras disciplinas como la estadística, en la mayoría de las veces van apareciendo como parte del avance en a disciplina, la confección de sus objetos y los descubrimientos propios de la disciplina cientifica; cuando llama la atención sobre que "no se trata de trasladar herramientas matemáticas a un contexto biológico, sino de crearlas ad hoc, derivadas de la propia naturaleza del proceso biológico a estudiar", únicamente descubre que la matemática pura al no poseer  un contenido per sé, esta sujeta a modificaciones, reformulaciones, conciliaciones entre objeto real y  la modelización matemática que mejor se ajuste a las observaciones y la elaboración de las características cualitativas del objeto, de sus Qualia (Garcia, 1995, p. 354).

Por el otro lado el método que se puede aplicar también a la teoría de números, pero que es parte del método de investigación matemática e incluso para Hilbert (1993) en su Acerca del concepto de número, el constitutivo de la matemática; la axiomática formal o solamente método axiomático para Hilbert (en contraposición al método genético mencionado) es aquel que trata solo de las relaciones entre conjuntos de cosas, objetos abstractos y las operaciones que son posibles con ellos; la característica de este modo, es que no se define relativamente a nada extra matemático y la definición de sus objetos está contenida pero no es explícita, no se dice lo que es una recta, pero se puede derivar lo que ella es, desde sus axiomas. Además los axiomas son independientes unos de otros, no se derivan entre sé, pero son todos necesarios para definir el sistema general y sus características, así como de los objetos, entidades que son posibles de existir ahí.
Ante todo la teoría de números es la que define que tipo de objetos pueden estar, para Hilbert los desacuerdos en este punto, son los que fundan diferentes sistemas, análogo a esto se puede decir que los diferentes concepciones de planos en geometría, fundan diferentes geometrías y también lo hacen así las diferencias entre números (y lo numerable). Sin embargo cabe mencionar que no se descubre así, se dice más bien - para que dos líneas paralelas se “junten” tienen que existir un soporte conceptuado de diferente manera- y entonces la investigación radica en ver que tipo de plano es tal, que posibilita para otras figuras, que pasa con las transformaciones en el, para así ir construyendo ese sistema descubierto y sus axiomas que lo legislan.



Para un matemático como Hilbert, ambos métodos surgen aunque de diferentes formas, unos de la sucesión y otros desde las operaciones posibles de realizar en conjuntos de elementos; son básicamente sistemas irrealistas, encerrados en sí mismos y que solo poseen referencia a lo extramatemático cuando se aplican, no cuando se construyen los objetos matemáticos como se suele pensar en la axiomatización material, este método material, es más clásico de otras ciencias aplicadas, naturales o sociales; de ahí que Hilbert lo llame genético más que material aunque se refieran a un proceder similar.

Identidad de los indiscernibles.

Conclusiones:

Para toda ciencia, sistema matemático, geométrico o forma lógica de estudio que se realice por medio de métodos de “consistencias relativas”, es necesario que exista una adecuación de las nociones a los diferentes objetos del mundo real; esto porque a pesar de que algunas formas lógicas no son un problema estructural, son un problema si se aplica a ciertos ámbitos y se convierten realmente en un impasse de ese conocimiento, se duda y recurre a las nociones místicas o esotéricas de asignarles símbolos porque si, a partes de teorías que en el mejor de los casos se duda de su capacidad de tener entidades materiales, y en el peor de los casos se sigue de manera irreflexiva, de una verdadera forma religiosa.
¿Es peligroso entonces comprender a las ciencias desde un formalismo exagerado?, pues en el caso de las matemáticas no tanto, se podrían elaborar investigaciones formalistas y postertiormente encontrar aplicaciones, sin tener que cooconstruir las matemáticas al lado de las aplicaciones esperadas en todos los casos.

Por ejemplo, la sustituibilidad matemática, no es aplicable siempre en filosofía del lenguaje, las sustituciones de idénticos referentes o de idénticas funciones resultan en algunos casos en no idénticas entidades a pesar del axioma de Euclides o de Leibniz, es imposible de realizar y conducente a error. De ahí que por ejemplo, se pueda hacer una analogía (aunque muy restrictamente adecuado) del descubrimiento de que los diferentes planos generan diferentes geometrías, con el descubrimiento de que en medio de cada pensamiento hay un pensador que puede generar asimismo diferentes resultados matemáticos e incluso puede coincidir de diferentes formas con otros, todo depende de las diferentes capacidades que se le asignen a nuestro pensador hipotético, que siendo hipotético, debemos ser cautos acerca de lo que nos falta saber de él.

Entonces podríamos decir que de lo anterior se extrae que en los axiomas materiales, la sustituibilidad de los idénticos debe provenir de una adecuación acerca de qué son los idénticos en el mundo, tanto como en lo extra matemático, o extra lógico, para evitar que se puedan considerar idénticas cosas que no lo son.

De estas dos metodologías de construir sistematicidad, Hilbert hace una elaboración formalista para ambas; si el método genético se considera en Dou(1970) como construcción basada en objetos extra-lógicos o extra-matemáticos, Hilbert solo considera a este método, el proceder de acuerdo a el conteo sucesivo de unidades, es decir una ampliación del numero y así descubre operaciones, funciones, conceptos y definiciones básicas que emergen de la sucecividad de objetos lógicos como los números, o las rectas, los puntos y líneas. El otro método formalista se queda como se explico, se elabora desde una opción irrealista, es decir, desde propiedades meramente formales y sin recurrir a definiciones, sino que estas son implícitas, todo esto con el objetivo de proceder de manera no contradictoria a partir de lo que posibilitan los axiomas.

Por tanto la matemática preferida por Hilbert en la formal y el problema de la aplicación a los objetos es un asunto de cada ciencia natural, de la fisica, la biología, los usos de la geometría; en dado caso las ciencias apesar de proceder por medio de la conceptualzación y concebido este proceder como Pensamiento Axiomático por Hilbert(1930), estas deben procurar llegar a expresiones sistemáticas mas profundas que solo provienen de las relaciones matemáticas.

Bibliografía:

Cerejeido, Marcelino (1994) Ciencia sin seso, locura doble: ¿estas seguro de que te quieres dedicar a la investigación científica en un país subdesarrollado?[3ra Ed-200]. Editorial Siglo XXI.

Dou, Alberto (1970) Cap 2: Formalismo. En: Fundamentos de la matemática. Editorial Labor.http://sistemas.fciencias.unam.mx/~lokylog/images/Notas/la_aldea_de_la_logica/Libros_notas_varios/L_24_DOU,%20Alberto%3B%20Fundamentos%20de%20las%20MatemAticas.pdf

García, A(1995) Qualia: propiedades fenoménológicas. En: F. Broncano(Ed.) (1995) La mente humana. (ed. 2007). Editorial Trotta y Consejo superior de Investigaciones científicas. Madrid, España.

Gascueña, D.(17 de junio de 2020) Biomatemáticas: lo secretos numéricos de la biología. Open Mind, BBVA.https://www.bbvaopenmind.com/ciencia/matematicas/biomatematicas-los-secretos-numericos-de-la-biologia/

Hilbert, David (1993) Acerca del concepto de Número y Pensamiento axiomático. En: Fundamentos de las matemáticas. Comp, Carlos Alvarez y Luis Felipe Segura. Editorial Mathema.

Notas:

[1] (proxé): Proviene de la palabra griega para quien media entre un extranjero o foráneo, de donde se derivan palabras como prójimo, próximo, proximidad, aproximado, por definición no es a lo que se busca aproximarse (también, representante), es parecido y en informática se utiliza como una variable de mediación con un objeto, es un mediador. No es falso lo que señala Cereijido(1994) sobre que nos consolamos poniendo nombres griegos a cosas que ya nos parece que “desmitifcamos”. La proximidad era considerada un beneficio para ciertas personas que se encargaban de defender a los extrangeros de los abusos de otros ciudadanos.